콴타 매거진

2023년 4월 26일

크리스티나 아미티지/콴타 매거진

기고 작가

2023년 4월 26일

많은 사람들이 고등학교 초반에 배우는 첫 번째 증명은 소수가 무한히 많다는 고대 그리스 수학자 유클리드의 증명입니다. 단 몇 줄만 필요하며 정수와 곱셈보다 더 복잡한 개념을 사용하지 않습니다.

그의 증명은 유한한 수의 소수가 있을 경우 소수를 모두 곱하고 1을 더하면 또 다른 소수가 존재한다는 사실에 기초합니다. 이 모순은 소수가 무한해야 함을 의미합니다.

수학자들은 이상하게도 인기 있는 취미를 가지고 있습니다. 즉, 그것을 계속해서 증명하는 것입니다.

왜 이런 일을 귀찮게합니까? 우선, 재미있습니다. 더 중요한 것은, 올해 초 온라인에 게시된 새로운 증거의 저자이자 메릴랜드 대학의 컴퓨터 과학 교수인 William Gasarch는 "나는 레크리에이션 수학과 진지한 수학 사이의 경계가 매우 얇다고 생각합니다"라고 말했습니다.

Gasarch의 증명은 오랫동안 이어져온 새로운 증명 중 가장 최근에 나온 것일 뿐입니다. 2018년 몬테네그로 대학교의 로메오 메슈트로비치(Romeo Meštrović)는 포괄적인 역사적 조사를 통해 유클리드 정리에 대한 거의 200개의 증거를 수집했습니다. 실제로 정수를 연구하기 위해 연속적으로 변하는 양을 사용하는 해석수 이론의 전체 분야는 아마도 1737년에 시작되었을 것입니다. 그때 수학의 거장 레온하르트 오일러가 무한 급수 1 + 1/2 + 1/3 + 1/이라는 사실을 사용했습니다. 4 + 1/5 + … 발산(합이 유한한 숫자가 되지 않음을 의미)하여 무한한 수의 소수가 있음을 다시 증명합니다.

오스트리아 그라츠 공과대학교(Graz University of Technology)의 수학자이자 최근 또 다른 증거의 저자인 Christian Elsholtz는 수학자들이 정리를 정리로 체계적으로 조합할 때 수행하는 것처럼 많은 작은 결과에서 어려운 결과를 증명하는 대신 그 반대를 수행했다고 말했습니다. "저는 페르마의 마지막 정리를 사용하는데, 이는 정말 사소한 결과입니다. 그리고 아주 간단한 결과를 내립니다." 이와 같이 거꾸로 작업하면 수학의 여러 영역 사이에 숨겨진 연결이 드러날 수 있다고 그는 말했습니다.

몬트리올 대학의 수학자이자 다른 두 가지 증명의 저자인 앤드루 그랜빌은 "사람들이 가장 터무니없이 어려운 증명을 하기 위해 약간의 경쟁이 있습니다"라고 말했습니다. "재밌어야 합니다. 기술적으로 끔찍한 일을 하는 것은 요점이 아닙니다. 어려운 일을 하고 싶은 유일한 방법은 그것이 재미있다는 것입니다."

그랜빌은 이런 우호적인 1인 솜씨에는 심각한 포인트가 있다고 말했다. 연구자들은 해결하려는 질문만 받는 것이 아닙니다. "수학의 창조 과정은 단순히 기계에 작업을 설정하면 기계가 이를 해결하는 것이 아닙니다. 누군가가 과거에 수행한 작업을 사용하여 기술을 만들고 아이디어를 개발하는 방법을 만드는 것입니다. ."

Gasarch가 말했듯이 "모든 논문은 소수가 무한하다는 귀엽고 새로운 증명에서 심각한 수학으로 이어집니다. 어느 날은 소수만 보고 다음 날에는 제곱의 밀도를 살펴봅니다."

Quanta Magazine을 받은 편지함으로 배달받으세요

메릴랜드 대학의 교수인 William Gasarch는 소수가 무한하다는 새로운 증거를 제시한 수학자 중 가장 최근에 나온 사람입니다.

에반 골럽

Gasarch의 증명은 유한한 수의 색상으로 정수를 색칠하면 항상 같은 색상의 숫자 쌍이 있을 것이며 그 합도 해당 색상이 된다는 사실에서 시작됩니다. 이는 1916년 Issai Schur가 증명했습니다. Gasarch는 Schur의 정리를 사용하여 유한한 수의 소수가 있는 경우 두 소수의 합인 완벽한 입방체(125와 같은 정수로 다른 정수를 3번 곱한 값)가 존재한다는 것을 보여주었습니다. 다른 완벽한 큐브. 그러나 1770년에 오일러는 그러한 입방체가 존재하지 않는다는 것을 증명했습니다. 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)의 n = 3 경우는 2보다 큰 n에 대해 an + bn = cn에 대한 정수 해가 없다고 가정합니다. 그 모순에 기초하여 Gasarch는 다음과 같이 추론했습니다. 무한한 수의 소수가 있어야 한다는 것입니다.